1、求 函数值域的几种常见方法 1.直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R,值域为R; 反比例函数 的定义域为{x|x 0},值域为{y|y 0}; 二次函数 的定义域为R。
2、 当a>0时,值域为{ };当a<0时,值域为{ }. 例1.求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解:①∵-1 x 1。
(资料图)
3、∴-3 3x 3, ∴-1 3x+2 5,即-1 y 5。
4、∴值域是[-1,5] ②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0,∴ = 。
5、 当x<0时, =- ∴值域是 [2,+ ).(此法也称为配方法) 函数 的图像为: 2.二次函数比区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① ; 解:∵ 。
6、∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R。
7、 ∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4], 当x=3时。
8、y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上, =-2。
9、 =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时。
10、y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上, =-2。
11、 =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时。
12、y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上。
13、 =-3, =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数 , ⑴若定义域为R时。
14、 ①当a>0时,则当 时,其最小值 ; ②当a<0时。
15、则当 时,其最大值 . ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较 的大小决定函数的最大(小)值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内。
16、只需比较 的大小即可决定函数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3.判别式法(△法): 判别式法一般用于分式函数。
17、其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3.求函数 的值域 方法一:去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ① 当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 0 检验 时 (代入①求根) ∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述,函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二:把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明:此法是利用方程思想来处理函数问题。
18、一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4.换元法 例4.求函数 的值域 解:设 则 t 0 x=1- 代入得 5.分段函数 例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1:将函数化为分段函数形式: ,画出它的图象(下图)。
19、由图象可知,函数的值域是{y|y 3}. 解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和。
20、∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+ ]. 如图 两法均采用“数形结合”。
21、利用几何性质求解,称为几何法或图象法.。
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